MathLabs

第2問

次の条件を満たす実数 rr のうち最大のものが r=2r=2 であることを示せ：正整数からなる数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots がすべての正整数 nn について不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}} を満たすならば、ある正整数 MM が存在して、すべての n≥Mn\ge M について an+2=ana_{n+2}=a_n となる。
ステップ 1/6: 増加する例で r>2 を排除する
前のステップ次のステップ
a=⌈1r−2⌉,an=a+⌊n2⌋a=\left\lceil\tfrac{1}{r-2}\right\rceil,\quad a_n=a+\left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor
詳しい解説

r>2r>2 とし、整数 a≥1/(r−2)a\ge 1/(r-2) を固定する。an=a+⌊n/2⌋a_n=a+\lfloor n/2\rfloor とおく。このとき an≤an+2=an+1a_n\le a_{n+2}=a_n+1 であり、an+1≥an≥a≥1/(r−2)a_{n+1}\ge a_n\ge a\ge 1/(r-2) より (r−2)an≥1(r-2)a_n\ge 1、すなわち 2an+1≤r an≤r an+12a_n+1\le r\,a_n\le r\,a_{n+1} となるので、an+22=(an+1)2=an2+2an+1≤an2+r an+1a_{n+2}^2=(a_n+1)^2=a_n^2+2a_n+1\le a_n^2+r\,a_{n+1} が成り立つ。よってこの数列は当該 rr に対して仮定を満たすが、すべての nn で an+2=an+1≠ana_{n+2}=a_n+1\ne a_n となり、そのような MM は存在しない。したがって rr は 22 を超えられない。