アジア太平洋数学オリンピック · 2020年

問題

第1問 $\Gamma$ を三角形 $ABC$ の外接円とする。 $D$ を辺 $BC$ 上の点とする。 $A$ における $\Gamma$ の接線と、 $D$ を通り $BA$ に平行な直線との交点を $E$ とする。線分 $CE$ が $\Gamma$ と再び交わる点を $F$ とする。 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 、 $E$ が同一円周上にあるとする。 $AC$ 、 $BF$ 、 $DE$ が一点で交わることを証明せよ。解答: 1
第2問次の条件を満たす実数 $r$ のうち最大のものが $r=2$ であることを示せ：正整数からなる数列 $a_1,a_2,\ldots$ がすべての正整数 $n$ について不等式 $a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}$ を満たすならば、ある正整数 $M$ が存在して、すべての $n\ge M$ について $a_{n+2}=a_n$ となる。解答: 1
第3問正整数 $m$ と正整数からなる集合 $S$ が存在して、任意の整数 $n>m$ が $S$ の相異なる要素の和としてちょうど $k$ 通りに書けるような、正整数 $k$ をすべて求めよ。解答: 1
第4問 $\mathbb{Z}$ をすべての整数からなる集合とする。次の性質を満たす整数係数多項式 $P(x)$ をすべて求めよ： $\mathbb{Z}$ の各整数がちょうど1回ずつ現れる整数の無限数列 $a_1,a_2,\ldots$ に対して、常に添字 $i<j$ と整数 $k$ が存在して $a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j=P(k)$ となる。解答: 1
第5問 $n\ge3$ を固定された整数とする。黒板に数 $1$ が $n$ 個書かれている。黒板の下には最初は空の2つのバケツがある。1回の操作は、2つの数 $a$ と $b$ を消して、代わりに $1$ と $a+b$ を書き、さらに1個目のバケツに石を1個、2個目のバケツに $\gcd(a,b)$ 個の石を加えることからなる。有限回の操作の後、1個目のバケツに $s$ 個、2個目のバケツに $t$ 個の石があり、 $s$ 、 $t$ は正整数であるとする。比 $\dfrac{t}{s}$ のとりうるすべての値を求めよ。解答: 1