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第2問

次の条件を満たす実数 rr のうち最大のものが r=2r=2 であることを示せ：正整数からなる数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots がすべての正整数 nn について不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}} を満たすならば、ある正整数 MM が存在して、すべての n≥Mn\ge M について an+2=ana_{n+2}=a_n となる。
ステップ 2/6: r=2 に対する補題1
前のステップ次のステップ
an+1≤an  ⟹  an+2=ana_{n+1}\le a_n \implies a_{n+2}=a_n
詳しい解説

次に r=2r=2 とする。an+1≤ana_{n+1}\le a_n ならば an+2≤an2+2an+1≤an2+2an+1=an+1a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+2a_{n+1}}\le\sqrt{a_n^2+2a_n+1}=a_n+1 となる。an+2a_{n+2} は整数で an≤an+2<an+1a_n\le a_{n+2}<a_n+1 を満たすから、an+2=ana_{n+2}=a_n でなければならない。