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第2問

次の条件を満たす実数 rr のうち最大のものが r=2r=2 であることを示せ：正整数からなる数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots がすべての正整数 nn について不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}} を満たすならば、ある正整数 MM が存在して、すべての n≥Mn\ge M について an+2=ana_{n+2}=a_n となる。
ステップ 3/6: r=2 に対する補題2
前のステップ次のステップ
an≤an+1  ⟹  an+2≤an+1a_n\le a_{n+1} \implies a_{n+2}\le a_{n+1}
詳しい解説

同様に an≤an+1a_n\le a_{n+1} ならば an+2≤an2+2an+1≤an+12+2an+1+1=an+1+1a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+2a_{n+1}}\le\sqrt{a_{n+1}^2+2a_{n+1}+1}=a_{n+1}+1 となる。補題1と同じ計算を an,an+1a_n,a_{n+1} の役割を入れ替えて行うと、直接 an+2≤an+1a_{n+2}\le a_{n+1} が得られる。