第2問

次の条件を満たす実数

r

のうち最大のものが

r=2

であることを示せ：正整数からなる数列

a_1,a_2,\ldots

がすべての正整数

n

について不等式

a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}

を満たすならば、ある正整数

M

が存在して、すべての

n\ge M

について

a_{n+2}=a_n

となる。

ステップ 4/6: 交互に続く連鎖を始める

前のステップ次のステップ

a_{m+2}>a_m \implies a_{m+2}\le a_{m+1},\quad a_{m+3}=a_{m+1}

詳しい解説

ある添字 $m$ で $a_{m+2}>a_m$ となると仮定する。補題1の対偶（ $n=m$ で）より $a_{m+1}\le a_m$ とはなりえないので $a_m\le a_{m+1}$ であり、補題2より $a_{m+2}\le a_{m+1}$ が得られる。 $a_{m+2}\le a_{m+1}$ なので $n=m+1$ で補題1を適用すると $a_{m+3}=a_{m+1}$ となる。