第2問

次の条件を満たす実数

r

のうち最大のものが

r=2

であることを示せ：正整数からなる数列

a_1,a_2,\ldots

がすべての正整数

n

について不等式

a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}

を満たすならば、ある正整数

M

が存在して、すべての

n\ge M

について

a_{n+2}=a_n

となる。

ステップ 5/6: 帰納法で奇数項を固定し偶数項を評価する

前のステップ次のステップ

a_{m+2k+1}=a_{m+1}\ (k\ge1),\qquad a_{m+2k}\uparrow,\ a_{m+2k}\le a_{m+1}

詳しい解説

前の段階を繰り返す（2つの補題を使って $a_{m+2k}$ と $a_{m+2k+1}=a_{m+1}$ を比較する）と、帰納法によりすべての $k\ge1$ について $a_{m+2k+1}=a_{m+1}$ 、すべての $k\ge0$ について $a_{m+2k}\le a_{m+1}$ であることが分かる。問題の仮定からすでに $a_m\le a_{m+2}\le a_{m+4}\le\cdots$ が成り立つので、偶数オフセットの部分列 $(a_{m+2k})_{k\ge0}$ は $a_{m+1}$ で上に有界な正整数の広義単調増加列であり、やがて一定になる：ある $K$ が存在してすべての $k\ge K$ で $a_{m+2k}=a_{m+2K}$ となる。