第2問

次の条件を満たす実数

r

のうち最大のものが

r=2

であることを示せ：正整数からなる数列

a_1,a_2,\ldots

がすべての正整数

n

について不等式

a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}

を満たすならば、ある正整数

M

が存在して、すべての

n\ge M

について

a_{n+2}=a_n

となる。

ステップ 6/6: 結論

前のステップ次のステップ

M=\max(m+1,\,m+2K) \implies a_{n+2}=a_n\ (n\ge M)

詳しい解説

$a_{m+2}>a_m$ となる添字 $m$ が存在しなければ、すべての $n$ で $a_{n+2}=a_n$ （仮定 $a_n\le a_{n+2}$ と上記補題をいたるところに適用すると等号が成り立つ）ので $M=1$ でよい。そうでなければ、上記の $m,K$ を用いて $M=\max(m+1,m+2K)$ とおく： $m+1$ と同じ偶奇の $n\ge M$ では $a_{n+2}=a_n=a_{m+1}$ ； $m$ と同じ偶奇の $n\ge M$ では $a_{n+2}=a_n=a_{m+2K}$ となる。いずれの場合も $a_{n+2}=a_n$ となるので、 $r=2$ は求める条件を満たし、最初の段階よりこれが最大の実数である。