第3問

仮定が成り立つとする。有限集合の部分集合和は有限個しかないので S は無限である。S の十分大きい元 x を取る。x とその2倍の間に別の S の元 y があるとする。まず y が x+m より大きい場合、y から x を引いた数の k 表示は x を使わず、それぞれに x を加えると y の k 表示が得られ、さらに一要素表示もある。y が x+m 以下なら、m が2以上のときは 2x−m と2xの間の整数 z を取り、m=1 のときは z=2x として x の一要素表示以外の k−1 表示を使う。いずれも z−x と z−y の表示にそれぞれ x と y を加えると、z の表示が k 個を超える。したがってそのような y はない。x の2倍が S にないとすると、x の2倍を x を使って表す表示は、x の表示のうち一要素表示を除くすべてである。残りの表示は x を使わない。x−m 未満の項を含めばそれを除いて x とその2倍の間の禁じられた元が得られ、すべての項が x−m 以上 x 未満なら2項でも3項でも和を x の2倍にできない。よって x の2倍は S に属する。