このとき seq−sep−1=(seq−1+aeq)−sep−1≡(sep−1+d)−sep−1=d(modc)s_{e_q}-s_{e_p-1}=(s_{e_q-1}+a_{e_q})-s_{e_p-1}\equiv(s_{e_p-1}+d)-s_{e_p-1}=d\pmod cseq−sep−1=(seq−1+aeq)−sep−1≡(sep−1+d)−sep−1=d(modc) となり、この差はまさに区間和 aep+aep+1+⋯+aeqa_{e_p}+a_{e_p+1}+\cdots+a_{e_q}aep+aep+1+⋯+aeq であって、ep<eqe_p<e_qep<eq より少なくとも2項の和である。d(modc)d\pmod cd(modc) と合同なので、この和は適当な整数 kkk に対し ck+d=P(k)ck+d=P(k)ck+d=P(k) に等しくなり、c≠0c\ne0c=0 である任意の1次多項式 PPP がこの性質を持つ。