第4問

$\deg P$ が奇数で $3$ 以上ならば、$|x|\to\infty$ のとき間隔 $P(x+1)-P(x)$ は際限なく大きくなるので、任意の境界 $A,B,C$ に対し $|y|>C$ かつ $[y-A,y+B]$ に $P$ の値が入らないような $y$ が存在する。数列を貪欲に構成する：$a_1,\ldots,a_i$ を配置済みとし、$m$ を未使用の絶対値最小の整数として $a_{i+2}=m$ とおき、間隔についての事実を使って $a_{i+1}$ を選ぶ（新しい区間和はすべて $a_{i+1}$ を含み、その周りの有界な窓の中にある）ことで、新しく生じる連続区間和がすべて $P$ の値域を避けるようにする。これにより、どの区間和も $P(k)$ に等しくならない全単射 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ が得られ、$P$ は性質を満たさない；前段と合わせて、性質を満たせるのは $c\ne0$ の1次多項式 $P$ のみである。