k2≤rkk^2\le rkk2≤rk を kkk で割ると k≤rk\le rk≤r を得る。k≥1k\ge1k≥1 より 2k+1≤3k2k+1\le3k2k+1≤3k なので、rk<(k+1)2=k2+2k+1≤k2+3krk<(k+1)^2=k^2+2k+1\le k^2+3krk<(k+1)2=k2+2k+1≤k2+3k から r<k+3r<k+3r<k+3 を得る。よって有効な kkk はすべて半開区間 (r−3,r](r-3,r](r−3,r] に属し、この区間はちょうど3個の整数を含むので、kkk の可能な値は多くとも3個である；x=rkx=\sqrt{rk}x=rk は kkk について狭義単調増加なので、異なる有効な kkk は異なる xxx を与え、正の解 xxx は多くとも3個である。