逆に r−2<k≤rr-2<k\le rr−2<k≤r を満たす整数 kkk を任意にとる；このような整数は常にちょうど2個あり、k=⌊r⌋k=\lfloor r\rfloork=⌊r⌋ と k=⌊r⌋−1k=\lfloor r\rfloor-1k=⌊r⌋−1 である（r>2r>2r>2 よりどちらも正）。このような kkk に対し、k≤rk\le rk≤r より rk≥k2rk\ge k^2rk≥k2、k>r−2k>r-2k>r−2 より r<k+2r<k+2r<k+2 となるので、rk<(k+2)k<(k+1)2rk<(k+2)k<(k+1)^2rk<(k+2)k<(k+1)2（k≥1k\ge1k≥1 より (k+2)k=k2+2k<k2+2k+1(k+2)k=k^2+2k<k^2+2k+1(k+2)k=k2+2k<k2+2k+1）が成り立つ。よって k2≤rk<(k+1)2k^2\le rk<(k+1)^2k2≤rk<(k+1)2、すなわち k≤rk<k+1k\le\sqrt{rk}<k+1k≤rk<k+1 となり、x=rkx=\sqrt{rk}x=rk は ⌊x⌋=k\lfloor x\rfloor=k⌊x⌋=k を満たし x2=r⌊x⌋x^2=r\lfloor x\rfloorx2=r⌊x⌋ の真の解となる。