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第1問

各実数 r>2r>2 に対して、方程式 x2=r⌊x⌋x^2=r\lfloor x\rfloor を満たす正の実数 xx がちょうど2個または3個存在することを証明せよ。(ここで ⌊x⌋\lfloor x\rfloor は xx 以下の最大の整数を表す。)
ステップ 4/4: 結論
2≤#{x}≤32\le \#\{x\}\le 3
詳しい解説

前段の2つの整数 k=⌊r⌋,⌊r⌋−1k=\lfloor r\rfloor,\lfloor r\rfloor-1 はいずれも r−2<k≤r⊂(r−3,r]r-2<k\le r\subset(r-3,r] を満たすので、先に見つけた多くとも3個の候補のうち、少なくともこの2個は常に真の解を与える。よって正の解 xx の個数は少なくとも 22、多くとも 33、すなわちちょうど2個または3個である。