第2問
多項式 と正整数 に対して、 を かつ が で割り切れるような正整数の組 の個数と定める。すべての正整数 に対して となる整数係数多項式 をすべて求めよ。
詳しい解説
P をその負に置き換えても個数は変わらないので、十分大きい正の引数では P が正であると仮定する。最初の n 個の値のうち2つが n を法として同じ剰余をもつなら、引数 an+y と an+z における値が a が A 以上で正となるよう A を選び、2A に 2021 を加えた数より大きい k を取る。得られる 2(k−A) 個の値は、n を法とすると同じ剰余に還元される kn を法とする k 個の剰余類にしか入らない。したがって衝突は少なくとも k−2A 個、つまり 2021 個より多く、kn を法として同じ剰余をもつ。対応する相異なる正の引数は kn 未満なので上界に反する。よって最初の n 個の値は n を法として相異なる。