MathLabs

第2問

多項式 PP と正整数 nn に対して、PnP_n を a<b≤na<b\le n かつ ∣P(a)∣−∣P(b)∣|P(a)|-|P(b)| が nn で割り切れるような正整数の組 (a,b)(a,b) の個数と定める。すべての正整数 nn に対して Pn≤2021P_n\le2021 となる整数係数多項式 PP をすべて求めよ。
ステップ 5/6: c=1 では |P(a)|=|P(b)| の厳密な等号だけが問題になる
前のステップ次のステップ
∣P(a)∣−∣P(b)∣<n always, so equality ∣a+d∣=∣b+d∣ is forced|P(a)|-|P(b)|<n\ \text{always, so equality }|a+d|=|b+d|\text{ is forced}
詳しい解説

P(x)=x+dP(x)=x+d とする。a+d,b+da+d,b+d が同符号ならば ∣P(a)∣−∣P(b)∣=±(a−b)|P(a)|-|P(b)|=\pm(a-b) で 0<∣a−b∣<n0<|a-b|<n（1≤a<b≤n1\le a<b\le n より）なので、nn はこれを割り切ることはなく、該当する組はない。異符号の場合、例えば a<−d≤ba<-d\le b（−d=:m>0-d=:m>0 が必要）とすると ∣P(a)∣−∣P(b)∣=−(a+b+2d)|P(a)|-|P(b)|=-(a+b+2d) であり、1≤a≤m−11\le a\le m-1、m≤b≤nm\le b\le n より ∣a+b−2m∣<m≤n|a+b-2m|<m\le n が確かめられる；よってこの差もまた絶対値が nn より小さく、nn で割り切れるには a+b=2ma+b=2m が厳密に成り立つ必要がある。