第2問

$d\ge0$ のとき $a+b=2m=-2d$ を満たす組はない（$m\le0$ のため）ので、すべての $n$ で $P_n=0$ となる。$d=-m<0$ のとき、$a<b\le n$、$a+b=2m$、$a<m\le b$ を満たす組の数は、非負である限りちょうど $\min(m-1,\,n-m)$ であり、$n\ge2m-1$ になると $m-1$ に等しくなる；よって $\sup_nP_n=m-1$ である。$m-1\le2021$ を要求すると $m\le2022$、すなわち $d\ge-2022$ となり、この上限は十分条件でもある。$P$ を $-P$ に置き換えてもすべての $P_n$ は変わらない（$|{-P}|=|P|$ のため）ので、族 $P(x)=-x+d$ はちょうど $-d\ge-2022$、すなわち $d\le2022$ のときに成り立ち、分類が完成する。