MathLabs

第3問

ABCDABCD を円に内接する凸四角形とし、Γ\Gamma をその外接円とする。EE を対角線 ACAC と BDBD の交点とし、LL を辺 ABAB、BCBC、CDCD に接する円の中心とし、MM を AA と DD を含まない Γ\Gamma の弧 BCBC の中点とする。三角形 BCEBCE の頂点 EE に対する傍心が直線 LMLM 上にあることを証明せよ。
ステップ 6/8: 三角形 MBL、MCL における正弦定理
前のステップ次のステップ
sin⁡∠BLMsin⁡∠CLM=sin⁡∠MBLsin⁡∠MCL=cos⁡(a/2)cos⁡(c/2)\frac{\sin\angle BLM}{\sin\angle CLM}=\frac{\sin\angle MBL}{\sin\angle MCL}=\frac{\cos(a/2)}{\cos(c/2)}
詳しい解説

三角形 MBLMBL と MCLMCL（辺 MLML を共有）における正弦定理より、MBsin⁡∠MLB=MLsin⁡∠MBL\dfrac{MB}{\sin\angle MLB}=\dfrac{ML}{\sin\angle MBL}、MCsin⁡∠MLC=MLsin⁡∠MCL\dfrac{MC}{\sin\angle MLC}=\dfrac{ML}{\sin\angle MCL} である。MB=MCMB=MC なので、割ることで sin⁡∠BLMsin⁡∠CLM=sin⁡∠MBLsin⁡∠MCL=sin⁡(90∘−a/2)sin⁡(90∘−c/2)=cos⁡(a/2)cos⁡(c/2)\dfrac{\sin\angle BLM}{\sin\angle CLM}=\dfrac{\sin\angle MBL}{\sin\angle MCL}=\dfrac{\sin(90^\circ-a/2)}{\sin(90^\circ-c/2)}=\dfrac{\cos(a/2)}{\cos(c/2)} が得られる。