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第3問

ABCDABCD を円に内接する凸四角形とし、Γ\Gamma をその外接円とする。EE を対角線 ACAC と BDBD の交点とし、LL を辺 ABAB、BCBC、CDCD に接する円の中心とし、MM を AA と DD を含まない Γ\Gamma の弧 BCBC の中点とする。三角形 BCEBCE の頂点 EE に対する傍心が直線 LMLM 上にあることを証明せよ。
ステップ 7/8: 同じ比が N についても現れる
前のステップ次のステップ
∠LBN=∠LCN=90∘+d2,NBNC=sin⁡∠NCBsin⁡∠NBC=cos⁡(a/2)cos⁡(c/2)=sin⁡∠BLNsin⁡∠CLN\angle LBN=\angle LCN=90^\circ+\tfrac d2,\qquad \frac{NB}{NC}=\frac{\sin\angle NCB}{\sin\angle NBC}=\frac{\cos(a/2)}{\cos(c/2)}=\frac{\sin\angle BLN}{\sin\angle CLN}
詳しい解説

ステップ2と3の二等分線の角を足すと、∠LBN=∠LBC+∠CBN=c+d2+(90∘−c2)=90∘+d2\angle LBN=\angle LBC+\angle CBN=\tfrac{c+d}2+(90^\circ-\tfrac c2)=90^\circ+\tfrac d2、同様に ∠LCN=∠LCB+∠BCN=a+d2+(90∘−a2)=90∘+d2\angle LCN=\angle LCB+\angle BCN=\tfrac{a+d}2+(90^\circ-\tfrac a2)=90^\circ+\tfrac d2 となり、∠LBN=∠LCN\angle LBN=\angle LCN が得られる。三角形 NBCNBC における正弦定理より NB/NC=sin⁡∠NCB/sin⁡∠NBC=cos⁡(a/2)/cos⁡(c/2)NB/NC=\sin\angle NCB/\sin\angle NBC=\cos(a/2)/\cos(c/2) となり前段の比と一致する；また三角形 NBL,NCLNBL,NCL における正弦定理と ∠LBN=∠LCN\angle LBN=\angle LCN より NB/NC=sin⁡∠BLN/sin⁡∠CLNNB/NC=\sin\angle BLN/\sin\angle CLN となる。