MathLabs

第3問

ABCDABCD を円に内接する凸四角形とし、Γ\Gamma をその外接円とする。EE を対角線 ACAC と BDBD の交点とし、LL を辺 ABAB、BCBC、CDCD に接する円の中心とし、MM を AA と DD を含まない Γ\Gamma の弧 BCBC の中点とする。三角形 BCEBCE の頂点 EE に対する傍心が直線 LMLM 上にあることを証明せよ。
ステップ 8/8: 正弦の一意性補題により結論する
前のステップ次のステップ
∠BLM=∠BLN ⇒ L,M,N collinear\angle BLM=\angle BLN\ \Rightarrow\ L,M,N\ \text{collinear}
詳しい解説

MM と NN はともに角 ∠BLC\angle BLC の内部にあるので、∠BLM+∠MLC=∠BLC=∠BLN+∠NLC\angle BLM+\angle MLC=\angle BLC=\angle BLN+\angle NLC が成り立つ。sin⁡∠BLM/sin⁡∠MLC=sin⁡∠BLN/sin⁡∠NLC\sin\angle BLM/\sin\angle MLC=\sin\angle BLN/\sin\angle NLC（ステップ6-7）と合わせると、和が等しく 180∘180^\circ より小さい2組の正の角で正弦の比が等しければそれぞれ等しいという初等的事実により、∠BLM=∠BLN\angle BLM=\angle BLN が強制される。したがって半直線 LMLM と LNLN は一致し、NN は直線 LMLM 上にある。