第5問

すべての整数

a

、

b

に対して

f(f(a)-b)+b\,f(2a)

が平方数となるような関数

f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

をすべて求めよ。

ステップ 1/5: 答え：2つの族

f(n)=n^2\ \text{for all }n;\qquad\text{or}\qquad f(n)=0\ (n\text{ even}),\ f(n)=\text{any perfect square}\ (n\text{ odd})

詳しい解説

解はすべての $n$ に対する $f(n)=n^2$ と、すべての偶数 $n$ に対し $f(n)=0$ 、各奇数 $n$ に対しては $f(n)$ が（それぞれ独立に選べる）任意の平方数となる族である。