MathLabs

第5問

すべての整数 aa、bb に対して f(f(a)−b)+b f(2a)f(f(a)-b)+b\,f(2a) が平方数となるような関数 f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} をすべて求めよ。
ステップ 2/5: f(n)=n^2 を検証する
前のステップ次のステップ
f(f(a)−b)+bf(2a)=(a2+b)2 when f(n)=n2f(f(a)-b)+bf(2a)=(a^2+b)^2\ \text{when } f(n)=n^2
詳しい解説

f(n)=n2f(n)=n^2 ならば、f(f(a)−b)+bf(2a)=(a2−b)2+b(2a)2=a4−2a2b+b2+4a2b=a4+2a2b+b2=(a2+b)2f(f(a)-b)+bf(2a)=(a^2-b)^2+b(2a)^2=a^4-2a^2b+b^2+4a^2b=a^4+2a^2b+b^2=(a^2+b)^2 となり、すべての a,ba,b に対して平方数である。