MathLabs

第5問

すべての整数 aa、bb に対して f(f(a)−b)+b f(2a)f(f(a)-b)+b\,f(2a) が平方数となるような関数 f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} をすべて求めよ。
ステップ 3/5: 偶数上で0になる族を検証する
前のステップ次のステップ
f(2a)=0 ⇒ f(f(a)−b)+bf(2a)=f(f(a)−b), a square for every value f(a)−bf(2a)=0\ \Rightarrow\ f(f(a)-b)+bf(2a)=f(f(a)-b),\ \text{a square for every value }f(a)-b
詳しい解説

ff がすべての偶数で消え、各奇数では平方数になるとすると、2a2a は常に偶数なので f(2a)=0f(2a)=0 となり、式は f(f(a)−b)f(f(a)-b) に簡約される。bb がすべての整数を動くとき m=f(a)−bm=f(a)-b もすべての整数を動き、構成により f(m)f(m) は常に平方数である（mm が偶数なら 00、mm が奇数なら選んだ平方数）。よって式全体はすべての a,ba,b について平方数である。