f(0) を c とおく。a=0、b=c の代入から c+c²=z² となり、平方差の因数分解により c=0 または c=−1。c=−1 なら b=f(a) の代入により、任意の a で f(a)f(2a)−1 が平方数となる。平方数より1大きい数の素因数に関する標準論法から、f(a) の素因数はすべて2または4を法として1に合同で、4の因子はない。特に −4 で成り立つ。一方 a=0、b=3 の代入では f(−4)−3 が平方数なので f(−4) は4を法として3に合同となり、矛盾。したがって f(0)=0。