MathLabs

第1問

正の整数の組 (a,b)(a,b) で、a3a^3 が b2b^2 の倍数であり、かつ b−1b-1 が a−1a-1 の倍数であるものをすべて求めよ。(整数 kk を用いて n=kmn=km と書けるとき、nn は mm の倍数であるという。)
ステップ 2/5: a^3=b^2c となる c を導入する
a3=b2c,a≡b≡1(moda−1) ⟹ c≡1(moda−1)a^3=b^2c,\quad a\equiv b\equiv1\pmod{a-1}\ \Longrightarrow\ c\equiv1\pmod{a-1}
詳しい解説

次に b≥ab\ge a とする。b2b^2 が a3a^3 を割り切るので、正整数 cc を用いて a3=b2ca^3=b^2c と書ける。法 a−1a-1 で考えると a≡1a\equiv1 であり、(a−1)∣(b−1)(a-1)\mid(b-1) より b≡1b\equiv1 なので b2≡1b^2\equiv1、よって a3≡1(moda−1)a^3\equiv1\pmod{a-1} である。a3=b2ca^3=b^2c より c≡1(moda−1)c\equiv1\pmod{a-1} が従う。