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第1問

正の整数の組 (a,b)(a,b) で、a3a^3 が b2b^2 の倍数であり、かつ b−1b-1 が a−1a-1 の倍数であるものをすべて求めよ。（整数 kk を用いて n=kmn=km と書けるとき、nn は mm の倍数であるという。）
ステップ 3/5: c<a を排除する
前のステップ次のステップ
c<a⇒c=1⇒a=d2, b=d3,(d2−1)∣(d3−1)⟹(d+1)∣1⟹d=1c<a\Rightarrow c=1\Rightarrow a=d^2,\ b=d^3,\quad (d^2-1)\mid(d^3-1)\Longrightarrow(d+1)\mid1\Longrightarrow d=1
詳しい解説

c<ac<a のとき、合同式 c≡1(moda−1)c\equiv1\pmod{a-1} と 0<c<a0<c<a から c=1c=1 となり、a3=b2a^3=b^2 を得る。正整数 dd を用いて a=d2a=d^2, b=d3b=d^3 と書くと、(a−1)∣(b−1)(a-1)\mid(b-1) は (d2−1)∣(d3−1)(d^2-1)\mid(d^3-1)、すなわち (d−1)(d+1)∣(d−1)(d2+d+1)(d-1)(d+1)\mid(d-1)(d^2+d+1) となる。d>1d>1 のときこれは (d+1)∣(d2+d+1)=d(d+1)+1(d+1)\mid(d^2+d+1)=d(d+1)+1 に帰着し、(d+1)∣1(d+1)\mid1 を強制するが不可能。よって d=1d=1 であり、これは既に数えた自明な組 a=b=1a=b=1 を与える。