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第1問

正の整数の組 (a,b)(a,b) で、a3a^3 が b2b^2 の倍数であり、かつ b−1b-1 が a−1a-1 の倍数であるものをすべて求めよ。（整数 kk を用いて n=kmn=km と書けるとき、nn は mm の倍数であるという。）
ステップ 4/5: c≥a を認める
前のステップ次のステップ
c≥a ⟹ b2c≥b2a≥a3=b2c ⟹ a=b=cc\ge a\ \Longrightarrow\ b^2c\ge b^2a\ge a^3=b^2c\ \Longrightarrow\ a=b=c
詳しい解説

逆に c≥ac\ge a のとき、b≥ab\ge a より b2c≥b2a≥a2⋅a=a3=b2cb^2c\ge b^2a\ge a^2\cdot a=a^3=b^2c となり、すべて等号が成り立つ：b2c=b2ab^2c=b^2a から c=ac=a、b2a=a3b^2a=a^3 から b2=a2b^2=a^2、すなわち b=ab=a を得る。