第3問

\{x\}

を

x

の小数部分とするとき、

\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},

を満たす正整数

n

が存在するような正整数

k<202

をすべて求めよ。（

\{x\}

とは、

x-r

が整数となる実数

r

（

0\le r<1

）のことである。）

ステップ 1/5: 剰余 n=0 と n=101 を処理する

前のステップ次のステップ

n=0\Rightarrow\text{sum}=0\ne\tfrac{k}{2};\qquad n=101\Rightarrow\text{condition holds}\iff k=1

詳しい解説

$\{in/202\}$ は $n$ の法 $202$ による剰余にしか依らないので、 $0\le n<202$ としてよい。 $n=0$ ならすべての項が $0$ となり、どの $k$ についても等式は成り立たない。 $n=101$ のときは直接確かめると、等式が成り立つのはちょうど $k=1$ のときである。以降は $101\nmid n$ とする。