第3問

\{x\}

を

x

の小数部分とするとき、

\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},

を満たす正整数

n

が存在するような正整数

k<202

をすべて求めよ。（

\{x\}

とは、

x-r

が整数となる実数

r

（

0\le r<1

）のことである。）

ステップ 2/5: 分母を払う

前のステップ次のステップ

nk(k+1)-404z=202k,\qquad z=\sum_{i=1}^{k}\left\lfloor\frac{in}{202}\right\rfloor

詳しい解説

$\{in/202\}=in/202-\lfloor in/202\rfloor$ と書いて $i=1,\ldots,k$ について足すと、等式は $\frac{n}{202}\cdot\frac{k(k+1)}{2}-z=\frac{k}{2}$ となる。ここで $z$ は上の床関数の和である。 $404$ 倍すると上に示した整数の等式を得る。