MathLabs

第3問

{x}\{x\} を xx の小数部分とするとき、{n202}+{2n202}+⋯+{kn202}=k2,\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2}, を満たす正整数 nn が存在するような正整数 k<202k<202 をすべて求めよ。({x}\{x\} とは、x−rx-r が整数となる実数 rr(0≤r<10\le r<1)のことである。)
ステップ 4/5: 各候補 k に対する n を示す
k=201,n=1;k=100,n=2;k=101,n=51k=201,n=1;\quad k=100,n=2;\quad k=101,n=51
詳しい解説

k=201k=201 のとき n=1n=1 とすると、n,2n,…,knn,2n,\ldots,kn の法 202202 による余りは 1,2,…,2011,2,\ldots,201 となり平均は 101101。k=100k=100 のとき n=2n=2 とすると余りは 2,4,…,2002,4,\ldots,200 となり平均もまた 101101。k=101k=101 のとき n=51n=51 をとる。101101 個の余りを四個ずつ 2525 組と余り一個に分けると、各組の平均は着実に増加し、全体の平均はちょうど 101101 になることが直接計算で確かめられる。