ここで XXX 以降の手順からビー玉 2,…,2m−12,\ldots,2^{m-1}2,…,2m−1 を取り除く。するとビー玉 111 は空の箱から空の箱へと移るだけで、常に一つの箱を占有し、≥2m−1+1\ge 2^{m-1}+1≥2m−1+1 のビー玉がその箱に入るのを妨げる。したがって残りの 2m−1+12^{m-1}+12m−1+1 個のビー玉（すなわち 2m−1+1,…,2m+12^{m-1}+1,\ldots,2^m+12m−1+1,…,2m+1）は残りの mmm 個の箱だけを使って 2m+12^m+12m+1 を孤立させることになり、再び帰納法の仮定に反する。ゆえに n≥2k−1+1n\ge 2^{k-1}+1n≥2k−1+1 では勝てず、Cathy が勝てるのは n≤2k−1n\le 2^{k-1}n≤2k−1 のとき、かつそのときに限る。