x=ac+bdx=ac+bdx=ac+bd, y=ab+cdy=ab+cdy=ab+cd, z=ad+bcz=ad+bcz=ad+bc とおくと、直接展開して (a−b)(b−c)(c−d)(d−a)=(x−y)(x−z)(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=(x-y)(x-z)(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)=(x−y)(x−z) を得る。さらに 0=(a+b+c+d)2=1+2(x+y+z)0=(a+b+c+d)^2=1+2(x+y+z)0=(a+b+c+d)2=1+2(x+y+z) より x+y+z=−12x+y+z=-\tfrac{1}{2}x+y+z=−21 であり、1+2x=(a+c)2+(b+d)2≥01+2x=(a+c)^2+(b+d)^2\ge01+2x=(a+c)2+(b+d)2≥0 より x≥−12x\ge-\tfrac{1}{2}x≥−21（等号は a+c=b+d=0a+c=b+d=0a+c=b+d=0 のとき）となる。同様に y≥−12y\ge-\tfrac{1}{2}y≥−21 と z≥−12z\ge-\tfrac{1}{2}z≥−21 も成り立つ。