MathLabs

第5問

a2+b2+c2+d2=1a^2+b^2+c^2+d^2=1 を満たす実数 a,b,c,da,b,c,d に対し、(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) の最小値と、その最小値を与える (a,b,c,d)(a,b,c,d) をすべて求めよ。
ステップ 4/4: 等号を与える8組を復元する
前のステップ次のステップ
(a,b,c,d)=(3−14,1−34,−1+34,1+34) (+ cyclic shifts and ±)(a,b,c,d)=\left(\frac{\sqrt3-1}{4},\frac{1-\sqrt3}{4},-\frac{1+\sqrt3}{4},\frac{1+\sqrt3}{4}\right)\text{ (+ cyclic shifts and }\pm\text{)}
詳しい解説

y=−12y=-\tfrac{1}{2}, z=14z=\tfrac{1}{4}, x=−14x=-\tfrac{1}{4} の場合：y=−12y=-\tfrac{1}{2} は 1+2y=(a+b)2+(c+d)2=01+2y=(a+b)^2+(c+d)^2=0 を意味するので b=−ab=-a, d=−cd=-c となる。このとき a2+b2+c2+d2=1a^2+b^2+c^2+d^2=1 は a2+c2=12a^2+c^2=\tfrac{1}{2} となり、x=ac+bd=2ac=−14x=ac+bd=2ac=-\tfrac{1}{4} から ac=−18ac=-\tfrac{1}{8} を得る（これより自動的に z=ad+bc=−2ac=14z=ad+bc=-2ac=\tfrac{1}{4} も満たされる）。a2+c2=12a^2+c^2=\tfrac{1}{2}, ac=−18ac=-\tfrac{1}{8} を解くと、全体の符号反転を除いて {a,c}={3−14,−3+14}\{a,c\}=\left\{\tfrac{\sqrt3-1}{4},-\tfrac{\sqrt3+1}{4}\right\} となる。もう一方の z=−12z=-\tfrac{1}{2}, y=14y=\tfrac{1}{4} の場合は奇数の巡回シフト（d=−ad=-a, c=−bc=-b）を与える。以上より合計 88 個の解、すなわち (3−14,1−34,−1+34,1+34)\left(\tfrac{\sqrt3-1}{4},\tfrac{1-\sqrt3}{4},-\tfrac{1+\sqrt3}{4},\tfrac{1+\sqrt3}{4}\right) の 44 つの巡回シフトとそれらの符号反転が得られる。