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第1問

n≥5n\ge5 を整数とする。一辺の長さがそれぞれ 1,2,…,n1,2,\ldots,n である nn 個の正方形を考える。これらの正方形を、各辺が xx 軸および yy 軸に平行になるように平面上に配置する。どの二つの正方形も、頂点以外では共有点をもたないとする。どの正方形もちょうど二つの他の正方形と接するように配置できることを示せ。
ステップ 1/3: {1,...,n-4} を和の差が1または2になるよう分割する
前のステップ次のステップ
{1,…,n−4}=A⊔B,∑a∈Aa−∑b∈Bb∈{1,2}\{1,\ldots,n-4\}=A\sqcup B,\qquad \sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b\in\{1,2\}
詳しい解説

一辺 n−3,n−2,n−1,nn-3,n-2,n-1,n の最大の四つの正方形を別にしておく。残りの {1,…,n−4}\{1,\ldots,n-4\} から、大きい順に連続する四整数 {t,t+1,t+2,t+3}\{t,t+1,t+2,t+3\} の組を繰り返し取り出し、t,t+3t,t+3 を AA に、t+1,t+2t+1,t+2 を BB に入れる（和の差への寄与は 00）。これを小さい方の r∈{1,2,3,4}r\in\{1,2,3,4\} 個が残るまで続ける。r=1r=1 なら {1}\{1\} を AA に入れ（差は 11）、r=2r=2 なら 2∈A2\in A, 1∈B1\in B（差は 11）、r=3r=3 なら 1,3∈A1,3\in A, 2∈B2\in B（差は 22）、r=4r=4 なら 2,4∈A2,4\in A, 1,3∈B1,3\in B（差は 22）とする。こうして ∑a∈Aa−∑b∈Bb∈{1,2}\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b\in\{1,2\} が成り立つ。