MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 2023年

問題

  1. 第1問n≥5n\ge5 を整数とする。一辺の長さがそれぞれ 1,2,…,n1,2,\ldots,n である nn 個の正方形を考える。これらの正方形を、各辺が xx 軸および yy 軸に平行になるように平面上に配置する。どの二つの正方形も、頂点以外では共有点をもたないとする。どの正方形もちょうど二つの他の正方形と接するように配置できることを示せ。解答: 1
  2. 第2問n≥2n\ge2 かつ σ(n)p(n)−1=n,\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n, を満たす整数 nn をすべて求めよ。ただし σ(n)\sigma(n) は nn の正の約数の総和を表し、p(n)p(n) は nn の最大の素因数を表す。解答: 1
  3. 第3問平行四辺形 ABCDABCD において、辺 ABAB, BCBC, CDCD, DADA 上にそれぞれ点 WW, XX, YY, ZZ をとり、三角形 AWZAWZ, BXWBXW, CYXCYX, DZYDZY の内心が平行四辺形をなすとする。このとき WXYZWXYZ が平行四辺形であることを示せ。解答: 1
  4. 第4問c>0c>0 を与えられた正の実数とし、R>0\mathbb{R}_{>0} を正の実数全体の集合とする。次を満たす関数 f:R>0→R>0f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0} をすべて求めよ：f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cxfor all x,y∈R>0.f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.解答: 1
  5. 第5問平面上に nn 本の線分があり、どの3本も一点で交わらず、どの2本もそれぞれの内部でちょうど1回交わっている。Tony と 2n−12n-1 人の友人は、それぞれ異なる線分の端点に立っている。Tony は次のようにして友人たちにクリスマスプレゼントを送りたい。まず、各線分の一方の端点を「シンク」として選ぶ。次に、自分が立っている端点にプレゼントを置く。プレゼントは次のように動く：線分上にあるときはその線分のシンクに向かって進み、2本の線分の交点に達すると乗っている線分を乗り換えて新しい線分のシンクに向かって進み始める。プレゼントがある端点に到達すると、その端点にいる友人がプレゼントを受け取れる。Tony は 2n−12n-1 人の友人のうちちょうど nn 人にプレゼントを送れることを示せ。解答: 1