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第1問

n≥5n\ge5 を整数とする。一辺の長さがそれぞれ 1,2,…,n1,2,\ldots,n である nn 個の正方形を考える。これらの正方形を、各辺が xx 軸および yy 軸に平行になるように平面上に配置する。どの二つの正方形も、頂点以外では共有点をもたないとする。どの正方形もちょうど二つの他の正方形と接するように配置できることを示せ。
ステップ 2/3: 差が1のときに環を閉じる
(∑a∈Aa)2+(n−3)+(n−1)22=(∑b∈Bb)2+n+(n−2)22\left(\sum_{a\in A}a\right)\sqrt2+\frac{(n-3)+(n-1)}{2}\sqrt2=\left(\sum_{b\in B}b\right)\sqrt2+\frac{n+(n-2)}{2}\sqrt2
詳しい解説

AA の正方形を一本の 45∘45^\circ 対角線に沿って(対角頂点が接するように)並べ、BB の正方形を平行な 45∘45^\circ 対角線に沿って並べる。両端の直交する対角線には組 {n,n−3}\{n,n-3\} と組 {n−1,n−2}\{n-1,n-2\} を配する。∑a∈Aa−∑b∈Bb=1\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b=1 のときは、辺 n−3n-3 と n−1n-1 の正方形を AA の対角線に、辺 nn と n−2n-2 の正方形を BB の対角線につなぐ。(n+(n−2))−((n−3)+(n−1))=2=2⋅1(n+(n-2))-((n-3)+(n-1))=2=2\cdot1 により上の等式が成り立ち、二つのスパン長は等しくなる。