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第1問

n≥5n\ge5 を整数とする。一辺の長さがそれぞれ 1,2,…,n1,2,\ldots,n である nn 個の正方形を考える。これらの正方形を、各辺が xx 軸および yy 軸に平行になるように平面上に配置する。どの二つの正方形も、頂点以外では共有点をもたないとする。どの正方形もちょうど二つの他の正方形と接するように配置できることを示せ。
ステップ 3/3: 差が2のときの閉路と非重複の確認
前のステップ次のステップ
(∑a∈Aa)2+(n−3)+(n−2)22=(∑b∈Bb)2+n+(n−1)22,ai+bj22≤(n−4)2<2n−322\left(\sum_{a\in A}a\right)\sqrt2+\frac{(n-3)+(n-2)}{2}\sqrt2=\left(\sum_{b\in B}b\right)\sqrt2+\frac{n+(n-1)}{2}\sqrt2,\qquad \frac{a_i+b_j}{2}\sqrt2\le(n-4)\sqrt2<\frac{2n-3}{2}\sqrt2
詳しい解説

∑a∈Aa−∑b∈Bb=2\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b=2 のときは、n−3n-3 と n−2n-2 を AA の対角線に、nn と n−1n-1 を BB の対角線につなぐ。(n+(n−1))−((n−3)+(n−2))=4=2⋅2(n+(n-1))-((n-3)+(n-2))=4=2\cdot2 なので上の第一の等式が成り立ち、二本の鎖は再び四隅の正方形で閉じる。いずれの場合も、AA 対角線と BB 対角線の間の垂直距離は (n−3)+n22=2n−322\tfrac{(n-3)+n}{2}\sqrt2=\tfrac{2n-3}{2}\sqrt2 である一方、任意の ai∈Aa_i\in A, bj∈Bb_j\in B について ai,bj≤n−4a_i,b_j\le n-4 より ai+bj22≤(n−4)2<2n−322\tfrac{a_i+b_j}{2}\sqrt2\le(n-4)\sqrt2<\tfrac{2n-3}{2}\sqrt2 となる。よって二本の平行な鎖が互いに接することはなく、環の上の各正方形は周期上の前後二つの隣接正方形のみと接する。