p1<⋯<pkp_1<\cdots<p_kp1<⋯<pk として n=p1α1⋯pkαkn=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}n=p1α1⋯pkαk と書くと p(n)=pkp(n)=p_kp(n)=pk である。σ(n)\sigma(n)σ(n) の乗法的公式より、各因子 1+pi−1+⋯+pi−αi1+p_i^{-1}+\cdots+p_i^{-\alpha_i}1+pi−1+⋯+pi−αi は無限等比級数の和 pi/(pi−1)p_i/(p_i-1)pi/(pi−1) より真に小さい。pi≥i+1p_i\ge i+1pi≥i+1 かつ t↦t/(t−1)t\mapsto t/(t-1)t↦t/(t−1) は減少関数だから ∏i=1kpi/(pi−1)≤∏i=1k(i+1)/i=k+1\prod_{i=1}^k p_i/(p_i-1)\le\prod_{i=1}^k(i+1)/i=k+1∏i=1kpi/(pi−1)≤∏i=1k(i+1)/i=k+1 となり、pk−1<k+1p_k-1<k+1pk−1<k+1 を得る。