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第2問

n≥2n\ge2 かつ σ(n)p(n)−1=n,\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n, を満たす整数 nn をすべて求めよ。ただし σ(n)\sigma(n) は nn の正の約数の総和を表し、p(n)p(n) は nn の最大の素因数を表す。
ステップ 2/3: 素因数は高々2個かつ3以下であることを導く
前のステップ次のステップ
k≥3 ⟹ pk−1≥2k−2≥k+1, contradiction ⟹ k≤2, pk≤3k\ge3\ \Longrightarrow\ p_k-1\ge 2k-2\ge k+1,\text{ contradiction}\ \Longrightarrow\ k\le2,\ p_k\le3
詳しい解説

k≥3k\ge3 のとき、kk 番目の素数は少なくとも 2k−12k-1 だから pk−1≥2k−2≥k+1p_k-1\ge2k-2\ge k+1 となり、pk−1<k+1p_k-1<k+1 に反する。したがって k≤2k\le2 であり、pk<k+2≤4p_k<k+2\le4 から pk≤3p_k\le3 が従う。