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第3問

平行四辺形 ABCDABCD において、辺 ABAB, BCBC, CDCD, DADA 上にそれぞれ点 WW, XX, YY, ZZ をとり、三角形 AWZAWZ, BXWBXW, CYXCYX, DZYDZY の内心が平行四辺形をなすとする。このとき WXYZWXYZ が平行四辺形であることを示せ。
ステップ 1/3: 平行射影により対角の内接円半径が等しいことを示す
前のステップ次のステップ
r2−r1=I1I2sin⁡θ=I3I4sin⁡θ=r4−r3 ⟹ r1+r4=r2+r3;similarly r1+r2=r3+r4 ⟹ r1=r3, r2=r4r_2-r_1=I_1I_2\sin\theta=I_3I_4\sin\theta=r_4-r_3\ \Longrightarrow\ r_1+r_4=r_2+r_3;\quad\text{similarly }r_1+r_2=r_3+r_4\ \Longrightarrow\ r_1=r_3,\ r_2=r_4
詳しい解説

△AWZ,△BXW,△CYX,△DZY\triangle AWZ,\triangle BXW,\triangle CYX,\triangle DZY の内心と内接円半径をそれぞれ I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 および r1,r2,r3,r4r_1,r_2,r_3,r_4 とする。I1,I2I_1,I_2 から ABAB までの距離は r1,r2r_1,r_2、I3,I4I_3,I_4 から平行な辺 CDCD までの距離は r3,r4r_3,r_4 であり、平行四辺形 I1I2I3I4I_1I_2I_3I_4 において I1I2I_1I_2 と I4I3I_4I_3 は平行かつ等長だから、ABAB の法線方向（I1I2I_1I_2 と鋭角 θ\theta をなす）へ射影すると r2−r1=r4−r3r_2-r_1=r_4-r_3、すなわち r1+r4=r2+r3r_1+r_4=r_2+r_3 を得る。同様に BCBC の法線方向へ射影すると r1+r2=r3+r4r_1+r_2=r_3+r_4 を得る。二式を加減して r1=r3r_1=r_3, r2=r4r_2=r_4 が従う。