MathLabs

第3問

平行四辺形 ABCDABCD において、辺 ABAB, BCBC, CDCD, DADA 上にそれぞれ点 WW, XX, YY, ZZ をとり、三角形 AWZAWZ, BXWBXW, CYXCYX, DZYDZY の内心が平行四辺形をなすとする。このとき WXYZWXYZ が平行四辺形であることを示せ。
ステップ 2/3: 頂角と内接円半径を固定したときの二隣辺の単調関係
前のステップ次のステップ
w+z−w2+z2−2wzcos⁡α=2rcot⁡α2=K ⟹ z=K(w−K/2)(1+cos⁡α)w−Kw+z-\sqrt{w^2+z^2-2wz\cos\alpha}=2r\cot\frac{\alpha}{2}=K\ \Longrightarrow\ z=\frac{K(w-K/2)}{(1+\cos\alpha)w-K}
詳しい解説

頂角 α\alpha、その両隣の辺 w,zw,z、対辺 c=w2+z2−2wzcos⁡αc=\sqrt{w^2+z^2-2wz\cos\alpha}、内接円半径 rr の任意の三角形において、頂点からの接線の長さは (w+z−c)/2=rcot⁡(α/2)(w+z-c)/2=r\cot(\alpha/2) である。K=2rcot⁡(α/2)K=2r\cot(\alpha/2) とおいて w+z−K=cw+z-K=c を二乗し zz について解くと、(1+cos⁡α)>0(1+\cos\alpha)>0 かつ K>0K>0 より、zz は上に示した ww の狭義減少関数として表される。