第3問

三角形 $AWZ$ と $CYX$ は同じ頂角 $\angle A=\angle C$ と同じ内接円半径 $r_1=r_3$ をもつので、二隣辺の間に同じ減少関係が成り立つ。同様に $\triangle BXW$ と $\triangle DZY$ も $\angle B=\angle D$ と $r_2=r_4$ を共有する。もし $AZ\ne CX$ なら、一般性を失わず $AZ>CX$ とする。すると $A,C$ での単調性から $CY>AW$ となり、$AB=CD$ から引いて $BW=AB-AW>CD-CY=DY$、さらに $B,D$ での単調性から $DZ>BX$、これを $DA=BC$ から引いて $CX=BC-BX>DA-DZ=AZ$ となり、$AZ>CX$ に矛盾する。よって $AZ=CX$ かつ $AW=CY$（したがって $DZ=BX$, $BW=DY$）である。ゆえに二辺夾角相等により $\triangle AWZ\cong\triangle CYX$ および $\triangle BXW\cong\triangle DZY$ となり、$WZ=YX$ かつ $WX=ZY$、すなわち $WXYZ$ は平行四辺形である。