第4問

c>0

を与えられた正の実数とし、

\mathbb{R}_{>0}

を正の実数全体の集合とする。次を満たす関数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

をすべて求めよ：

f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.

ステップ 1/3: 下界 f(y)≥2y を示す

前のステップ次のステップ

f(y)<2y\ \Longrightarrow\ x=\frac{2y-f(y)}{c}>0\ \Longrightarrow\ (c+1)x+f(y)=x+2y\ \Longrightarrow\ 2cx=0,\text{ contradiction}\ \Longrightarrow\ f(y)\ge2y

詳しい解説

ある $y>0$ に対して $f(y)<2y$ と仮定する。すると $x=(2y-f(y))/c>0$ ととれば二つの引数 $(c+1)x+f(y)$ と $x+2y$ が一致し、関数方程式から $2cx=0$ となって $c>0$ , $x>0$ に矛盾する。よってすべての $y>0$ について $f(y)\ge2y$ である。