第4問

c>0

を与えられた正の実数とし、

\mathbb{R}_{>0}

を正の実数全体の集合とする。次を満たす関数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

をすべて求めよ：

f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.

ステップ 2/3: 非負の余剰 g(x)=f(x)-2x で書き直す

g(x)=f(x)-2x\ge0\ \Longrightarrow\ g((c+1)x+2y+g(y))+2g(y)=g(x+2y)

詳しい解説

$g(x)=f(x)-2x\ge0$ とおく。関数方程式に $f(t)=g(t)+2t$ を代入し、両辺から $2(c+1)x+4y$ を消去すると、すべての $x,y>0$ に対して $g((c+1)x+2y+g(y))+2g(y)=g(x+2y)$ を得る。