第4問

c>0

を与えられた正の実数とし、

\mathbb{R}_{>0}

を正の実数全体の集合とする。次を満たす関数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

をすべて求めよ：

f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.

ステップ 3/3: 反復により g(y)=0 を導く

前のステップ次のステップ

z>2y\ \Longrightarrow\ g(z)\ge 2m\,g(y)\quad\forall m\ge1\ \Longrightarrow\ g(y)=0\ \Longrightarrow\ f(x)=2x

詳しい解説

$g\ge0$ より、 $z=x+2y>2y$ のとき常に $g(z)\ge2g(y)$ が成り立つ。 $m\ge1$ に関する帰納法で、 $z>2y$ ならば $g(z)\ge2m\,g(y)$ となることがわかる。実際、 $z=x+2y>2y$ のとき $(c+1)x+2y+g(y)>2y$ だから帰納法の仮定より $g((c+1)x+2y+g(y))\ge2(m-1)g(y)$ であり、これに $2g(y)$ を足せば $g(z)\ge2m\,g(y)$ を得る。 $z>2y$ を固定して $m\to\infty$ とすれば、すべての $y>0$ で $g(y)=0$ が従う。ゆえにすべての $x>0$ で $f(x)=2x$ であり、これは実際に方程式を満たす。