MathLabs

第1問

鋭角三角形 ABCABC を考える。辺 ABAB 上の点 DD と辺 ACAC 上の点 EE を、直線 BCBC と DEDE が平行になるように取る。XX を四角形 BCEDBCED の内部の点とする。半直線 DXDX と EXEX がそれぞれ辺 BCBC 上の点 PP と QQ で交わり、PP と QQ はともに BB と CC の間にあるとする。三角形 BQXBQX と CPXCPX の外接円が点 Y≠XY\neq X で交わるとする。このとき、AA、XX、YY が同一直線上にあることを証明せよ。
ステップ 2/5: 同じ円上に T を置く
T=(CPX)∩AC, T≠CT=(CPX)\cap AC,\ T\neq C
詳しい解説

同様に、三角形 CPXCPX の外接円が直線 ACAC と再び交わる点を TT とする。DE∥BCDE\parallel BC より横断線 DXPDXP から ∠EDX=∠XPB\angle EDX=\angle XPB を得て、C,P,X,TC,P,X,T が共円で BB が PP を越えた半直線 CPCP 上にあるので、外角 ∠XPB\angle XPB は対する内角 ∠XTE\angle XTE に等しい。よって ∠EDX=∠XTE\angle EDX=\angle XTE となり、TT も D,E,XD,E,X を通る円上にある。