アジア太平洋数学オリンピック · 2024年

問題

第1問鋭角三角形 $ABC$ を考える。辺 $AB$ 上の点 $D$ と辺 $AC$ 上の点 $E$ を、直線 $BC$ と $DE$ が平行になるように取る。 $X$ を四角形 $BCED$ の内部の点とする。半直線 $DX$ と $EX$ がそれぞれ辺 $BC$ 上の点 $P$ と $Q$ で交わり、 $P$ と $Q$ はともに $B$ と $C$ の間にあるとする。三角形 $BQX$ と $CPX$ の外接円が点 $Y\neq X$ で交わるとする。このとき、 $A$ 、 $X$ 、 $Y$ が同一直線上にあることを証明せよ。解答: 1
第2問 $100\times100$ の盤を考え、行 $a$ 列 $b$ （ $1\le a,b\le100$ ）のマスを順序対 $(a,b)$ と同一視する。 $k$ を $51\le k\le99$ を満たす整数とする。 $k$ -ナイトとは、縦または横に1マス、もう一方の向きに $k$ マス動く駒である。すなわち $(a,b)$ から $(c,d)$ へ動くとき $(|a-c|,|b-d|)$ は $(1,k)$ または $(k,1)$ のいずれかである。 $k$ -ナイトはマス $(1,1)$ から出発し、何回か手を指す。手の列とは、 $(x_0,y_0)=(1,1),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ という一連のマスであって、すべての $i=1,2,\ldots,n$ について $1\le x_i,y_i\le100$ かつ $k$ -ナイトが $(x_{i-1},y_{i-1})$ から $(x_i,y_i)$ へ動けるものをいう。このとき各マス $(x_i,y_i)$ は到達可能であるという。各 $k$ について、到達可能なマスの個数 $L(k)$ を求めよ。解答: 1
第3問 $n$ を正の整数とし、 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ を正の実数とする。次を証明せよ。 $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.$ 解答: 1
第4問任意の正整数 $t$ に対し、 $0,1,\ldots,t-1$ の順列 $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ であって、すべての $0\le i\le t-1$ について二項係数 $\binom{t+i}{2a_i}$ が奇数であり、かつ $2a_i\neq t+i$ を満たすものがただ一つ存在することを証明せよ。解答: 1
第5問直線 $\ell$ が円に内接する四角形 $ABCD$ の辺 $BC$ と $AD$ の内部の点 $R$ と $S$ をそれぞれ通り、点 $C$ を越えた半直線 $DC$ 上の点 $Q$ 、および点 $A$ を越えた半直線 $BA$ 上の点 $P$ を通るとする。三角形 $QCR$ と $QDS$ の外接円は点 $N\neq Q$ で交わり、三角形 $PAS$ と $PBR$ の外接円は点 $M\neq P$ で交わるとする。直線 $MP$ と $NQ$ の交点を $X$ 、直線 $AB$ と $CD$ の交点を $K$ 、直線 $BC$ と $AD$ の交点を $L$ とする。点 $X$ が直線 $KL$ 上にあることを証明せよ。解答: 1