MathLabs

第1問

鋭角三角形 ABCABC を考える。辺 ABAB 上の点 DD と辺 ACAC 上の点 EE を、直線 BCBC と DEDE が平行になるように取る。XX を四角形 BCEDBCED の内部の点とする。半直線 DXDX と EXEX がそれぞれ辺 BCBC 上の点 PP と QQ で交わり、PP と QQ はともに BB と CC の間にあるとする。三角形 BQXBQX と CPXCPX の外接円が点 Y≠XY\neq X で交わるとする。このとき、AA、XX、YY が同一直線上にあることを証明せよ。
ステップ 4/5: DE ∥ BC から得た比と比較する
前のステップ次のステップ
ADAB=AEAC  ⟹  AS⋅AB=AT⋅AC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\implies AS\cdot AB=AT\cdot AC
詳しい解説

DE∥BCDE\parallel BC より三角形 ADEADE は三角形 ABCABC と相似なので AD/AB=AE/ACAD/AB=AE/AC である。AD⋅AS=AE⋅ATAD\cdot AS=AE\cdot AT に等しい比 AB/AD=AC/AEAB/AD=AC/AE を掛けると AS⋅AB=AT⋅ACAS\cdot AB=AT\cdot AC を得る。