MathLabs

第1問

鋭角三角形 ABCABC を考える。辺 ABAB 上の点 DD と辺 ACAC 上の点 EE を、直線 BCBC と DEDE が平行になるように取る。XX を四角形 BCEDBCED の内部の点とする。半直線 DXDX と EXEX がそれぞれ辺 BCBC 上の点 PP と QQ で交わり、PP と QQ はともに BB と CC の間にあるとする。三角形 BQXBQX と CPXCPX の外接円が点 Y≠XY\neq X で交わるとする。このとき、AA、XX、YY が同一直線上にあることを証明せよ。
ステップ 5/5: 根軸を用いて結論を得る
前のステップ次のステップ
AS⋅AB=AT⋅AC  ⟹  A∈XYAS\cdot AB=AT\cdot AC\implies A\in XY
詳しい解説

積 AS⋅ABAS\cdot AB は三角形 BQXBQX の外接円に関する AA の方べき（S,BS,B を通る割線）であり、AT⋅ACAT\cdot AC は三角形 CPXCPX の外接円に関する AA の方べき（T,CT,C を通る割線）である。両者が等しいことは、AA が2つの円の根軸、すなわち直線 XYXY 上にあることを意味する。したがって AA、XX、YY は同一直線上にある。