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第3問

nn を正の整数とし、a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を正の実数とする。次を証明せよ。∑i=1n12i(21+ai)2i≥21+a1a2⋯an−12n.\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.
ステップ 2/5: 補題の基底段階
前のステップ次のステップ
A1(x)+A1(y)≥A0(xy)  ⟺  xy(x−y)2+(xy−1)2≥0A_1(x)+A_1(y)\ge A_0(xy)\iff xy(x-y)^2+(xy-1)^2\ge0
詳しい解説

x,y>0x,y>0 に対し、A1(x)+A1(y)≥A0(xy)A_1(x)+A_1(y)\ge A_0(xy) は 2(1+x)2+2(1+y)2≥21+xy\frac{2}{(1+x)^2}+\frac{2}{(1+y)^2}\ge\frac{2}{1+xy} と同じである。分母を払うと、これは xy(x−y)2+(xy−1)2≥0xy(x-y)^2+(xy-1)^2\ge0 と同値であり、これは常に成り立ち、等号は x=y=1x=y=1 のときに限る。