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第3問

nn を正の整数とし、a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n を正の実数とする。次を証明せよ。∑i=1n12i(21+ai)2i≥21+a1a2⋯an−12n.\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.
ステップ 3/5: 補題の帰納段階
前のステップ次のステップ
Ak(x)=2k−2Ak−1(x)2,2(Ak−1(x)2+Ak−1(y)2)≥(Ak−1(x)+Ak−1(y))2A_k(x)=2^{k-2}A_{k-1}(x)^2,\qquad 2\big(A_{k-1}(x)^2+A_{k-1}(y)^2\big)\ge\big(A_{k-1}(x)+A_{k-1}(y)\big)^2
詳しい解説

k≥2k\ge2 に対し、定義を2乗すると Ak(x)=2k−2Ak−1(x)2A_k(x)=2^{k-2}A_{k-1}(x)^2 を得る。任意の実数 p,qp,q について 2(p2+q2)≥(p+q)22(p^2+q^2)\ge(p+q)^2 が成り立つので、p=Ak−1(x)p=A_{k-1}(x)、q=Ak−1(y)q=A_{k-1}(y) として適用し、帰納法の仮定 Ak−1(x)+Ak−1(y)≥Ak−2(xy)A_{k-1}(x)+A_{k-1}(y)\ge A_{k-2}(xy) を続けて用いると Ak(x)+Ak(y)=2k−2(Ak−1(x)2+Ak−1(y)2)≥2k−3(Ak−1(x)+Ak−1(y))2≥2k−3Ak−2(xy)2=Ak−1(xy)A_k(x)+A_k(y)=2^{k-2}\big(A_{k-1}(x)^2+A_{k-1}(y)^2\big)\ge2^{k-3}\big(A_{k-1}(x)+A_{k-1}(y)\big)^2\ge2^{k-3}A_{k-2}(xy)^2=A_{k-1}(xy) を得る。よって Ak(x)+Ak(y)≥Ak−1(xy)A_k(x)+A_k(y)\ge A_{k-1}(xy) はすべての k≥1k\ge1 で成り立つ。